17
Mar

34 | Die zwei unendlichen Listen

Dass unser, so menschlicher Geist nicht in der Lage ist bestimmte Sachverhalte in ihrer Gänze zu erfassen ist wohl als eine Schöpfergnade anzusehen. Größere Dinge zu verstehen wird allgemeinhin als Wahnsinn bezeichnet. Es ist gut so, dass gewisse Dinge uns zwischen den Händen zerrinnen, je schärfer wir sie zu fokussieren versuchen desto waberiger werden ihre Konturen. Ich glaube fest. Ganz fest. Dass es Dinge gibt die wir nicht verstehen können. Und zwar weil wir es nicht sollen. Würden wir die ihnen zu Grunde liegenden Konzepte erfassen würden uns dieses Wissen nihilieren, vernichten, ohne Spur. Wir würden selber beschließen, dass unsere Existenz völlig nichtig ist.

Ein solches Konzept, dessen Verständnis uns nicht bekommen würde ist das Konzept der Unendlichkeit. Unsere Lebensspanne kommt uns ewig vor und doch existiert nicht einmal unser Heimatplanet für länger als einen Wimpernschlag. Wenn wir glauben, dass unser Verhalten diese Welt vernichtet dann irren wir. Es wird uns vernichten. Dieser Planet wird sich erholen. Evolution kommt uns so unglaublich langsam vor, dabei ist sie blitzschnell. Schon bald werden hier Andere wohnen.

Unendlichkeit bedeutet, dass etwas keinerlei Anfang und keinerlei Ende besitzt (da ja auch ein Anfang ein Ende wäre, sollte man sich entschließen rückwärts zu gehen). Ein Kreis. In allen Dimensionen gleichzeitig. Ob es tatsächlich Unendlichkeit gibt oder nur relative Unendlichkeit (der Raum dehnt sich so schnell aus, dass wir niemals seinen Rand erreichen könnten, aber er hat trotzdem ein Ende) gibt is unwichtich, viel interessanter ist die mathematische Unendlichkeit.

Kreise in der ersten Dimension

In der Mathematik tuen wir nichts anderes als Abschnitte der Unendlichkeit zu definieren und zu verrechnen. Darum ist auch die Erfindung der 0 so bedeutend. Denn sie bietet uns einen zwar fiktiven aber immerhin beständigen Fixpunkt von dem aus wir alle anderen Zahlen definieren können. Besonders in der Analytischen Geometrie trifft man auf viele Unendlichkeiten in Form von Geraden und Ebenen. Wobei schon der Punkt, als einziges eindimensionales Objekt, unendlich ist. Unendlich klein. In einem Punkt ist eine weitere Unendlichkeit eingeschlossen, inklusive sich selber. Ein Kreis in der ersten Dimension.

Eine Unendlichkeit beinhaltet immer alle Unendlichkeiten und sich selber

Betrachtet man zuerst die Zahlen zwischen 0 und Unendlich erhält man die erste Unendlichkeit. Die unendliche Menge der natürlichen Zahlen. Desweiteren können wir als zweites noch alle Zahlen unterhalb der 0 miteinbeziehen. Die Unendlichkeit der ganzen Zahlen. Fügt man nun auch noch die Brüche hinzu, also die Unendlichkeiten zwischen zwei direkt aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen, so erhält man die Unendlichkeit der rationalen Zahlen. Außerdem folgen noch Zahlen wie pi oder Grenzwertfunktionen die an sich schon eine Unendlichkeit bilden, aber trotzdem in den Bereich der rationalen Unendlichkeit fallen. Wichtig ist zu wissen, dass diese letze Unendlichkeit alle vorigen Unendlichkeiten in sich enthält.

Es gibt nie das Ganze und das Einzelnde. Es gibt nur das Einzelnde und das Ganze weniger das Einzelnde, was dadurch nicht mehr das Ganze ist

Somit haben wir also die mathematische Unendlichkeit definiert. Und doch haben wir in dieser Definition immer noch nicht die tatsächliche Unendlichkeit erfasst. Und das können wir auch nicht. Aber wir können zeigen, dass eben das der Fall ist. Wenn die Unendlichkeit alle Zahlen umfasst die existent sind müsste ich also nach der Definition der Unendlichkeit keine weitere Zahl finden können die nicht Teil dieser Unendlichkeit ist. Gehe ich den harten Weg und schreibe jede Zahl auf die in meiner Unendlichkeit enthalten ist so werde ich am Ende eine gewaltige Liste erhalten (für die Listung von Brüchen muss ein wenig getrickst werden, da jeder Zähler in sich selber schon eine eigene Unendlichkeit darstellt und somit keine Listung zulässt). Diese Liste enthält unendlich viele Zahlen. Natürlich ist das nicht wirklich möglich da eine solche Liste niemals fertig wäre, viel eher geht es darum, dass wir uns vorstellen, jemand würde nach gesetzten Regeln eine Liste schreiben und würde an einen Punkt gelangen an dem jede Zahl die er aufschreibt noch niemals zuvor existent war. Dies ist möglich, da Zahlen nur Ideen sind, somit nicht wirklich existieren sondern viel eher gefasst werden. Somit würde unsere Liste dann die Unendlichkeit definieren und mit jeder notierten Zahl erweitern.

Würden wir nun (im Beispiel stark verkürzt) eine unendliche Menge an Dezimalzahlen aus den Brüchen auswählen und untereinander listen, sähe das so aus:

  • 0,10010 …
  • 0,00111 …
  • 0,01100 …
  • 0,11110 …
  • 0,00010

Wenn ich nun eine Diagonale von oben links nach unten rechts ziehe und jede der durschrittenen Zahlen zu einer neuen Zahl notiere erhalte ich die Zahl: 0,10110. Wenn ich nun jede Zahl die keine 1 ist durch eine 1 ersetze und jede 1 durch eine 0 erhalte ich die Zahl: 0,01001. Diese Zahl ist per Definition anders von jeder anderen Zahl von der unendlichen Liste. Denn sie unterscheidet sich von der ersten Zahl in der ersten Stellen, von der zweiten Zahl in der zweiten Stelle, von der dritten Zahl in der dritten Stelle und immer so weiter fort. Damit erhalten wir die zweite Unendlichkeit. Diesem Thema hat auch Numberphile ein Video gewidmet (aus dem die Konzepte in diesem Post stammen).

Youtube


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Die nicht listbare Unendlichkeit. Denn unsere erste Unendlichkeit, die alle Zahlen im Zahlenraum enthält, enthält per Definition doch nicht alle Zahlen und ist somit auch nicht Unendlich, in dem Sinne als, dass es Objekte außerhalb der Unendlichkeit gibt, die sie nicht miteinschließt. Mit jedem Mal, dass der Prozess von oben angewandt wird entsteht eine neue, um 1 größere Unendlichkeit. Und damit gibt es dann Unendlich viele Unendlichkeiten. Verdammt.

QITAN

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